Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和．
（1）若S₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，證明a₁，a₇，a₄也成等差數(shù)列；
（2）設(shè)S3=

3

2

，S6=

21

16

，b_n=λa_n-n²，若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2S₁₀=S₄+S₇，代入等比數(shù)列求和公式整理得1+q³=2q⁶．進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可推斷a₁+a₄=2a₇．進(jìn)而證明原式．
（2）把等比數(shù)列的求和公式代入S₃和S₆，兩式相除即可求得q，把q代入S₃求得a₁，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列可知b_n+1＜b_n，把b_n=λa_n-n²代入不等式，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)取最大值；n是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)取最大值，進(jìn)而得到λ的范圍．

解答：解：（1）證明：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
因?yàn)镾₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
所以

2a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

，
因?yàn)?-q≠0，所以1+q³=2q⁶．
所以a₁+a₁q³=2a₁q⁶，即a₁+a₄=2a₇．
所以a₁，a₇，a₄也成等差數(shù)列．
（2）因?yàn)?span id="9quhxvk" class="MathJye">S3=

3

2

，S6=

21

16

，
所以

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，①

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，②
由②÷①，得1+q3=

7

8

，所以q=-

1

2

，代入①，得a₁=2．
所以an=2•(-

1

2

)n-1，
又因?yàn)閎_n=λa_n-n²，所以bn=2λ(-

1

2

)n-1-n2，
由題意可知對(duì)任意n∈N^*，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
所以b_n+1＜b_n，即2λ(-

1

2

)n-(n+1)2＜2λ(-

1

2

)n-1-n2，
即6λ(-

1

2

)n＜2n+1對(duì)任意n∈N^*恒成立，
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，λ＞-

(2n+1)2n

6

，當(dāng)n=1時(shí)，-

(2n+1)2n

6

取得最大值-1，
所以λ＞-1；
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，λ＜

(2n+1)2n

6

，當(dāng)n=2時(shí)，

(2n+1)2n

6

取得最小值

10

3

，
所以λ＜

10

3

．
綜上可知，-1＜λ＜

10

3

，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-1，

10

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生根據(jù)已知條件，分析和解決問題的能力．