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等差數列{an} 的前n項的和為Sn,且S5=45,S6=60.
(1)求{an} 的通項公式;
(2)若數列{bn} 滿足bn-bn=an-1(n∉N*),且b1=3,設數列{
1
bn
}
的前n項和為Tn.求證:Tn
3
4
分析:(1)a6=S6-S5=15,由S6=
(a1+a6)×6
2
=60,解得a1=5,再由d=
a6-a1
6-1
=2,能求出{an} 的通項公式.
(2)由b2-b1=a1,b3-b2=a2,b4-b3=a3,…,bn-bn-1=an-1,疊加得bn-b1=
(a1+an-1)(n-1)
2
=
(5+2n+1)(n-1)
2
,所以bn=n2+2n.
1
bn
=
1
n2+2n
=
1
2
[
1
n
-
1
n+2
]
,由裂項求和法能夠證明Tn
3
4
解答:(1)解:a6=S6-S5=15,由S6=
(a1+a6)×6
2
=60,
解得a1=5,又∵d=
a6-a1
6-1
=2,
所以an=2n+3.…4
(2)證明:∵b2-b1=a1,
b3-b2=a2,
b4-b3=a3,

bn-bn-1=an-1
疊加得bn-b1=
(a1+an-1)(n-1)
2
=
(5+2n+1)(n-1)
2
,
所以bn=n2+2n.…(9分)

1
bn
=
1
n2+2n
=
1
2
[
1
n
-
1
n+2
]
,
Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
1
3
-
1
5
+…+
1
n
-
1
n+2
)

=
1
2
(
3
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

=
3
4
-
1
2
(
1
n+1
+
1
n+2
)<
3
4
.…(12分)
點評:本題考查數列通項公式和數列前n項和的求法,證明Tn
3
4
.解題時要認真審題,注意等差數列通項公式的應用和裂項求和法的靈活運用.
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