Question

【題目】已知冪函數（）在是單調減函數，且為偶函數.

（1）求的解析式；

（2）討論的奇偶性，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析。

【解析】

（1）根據冪函數的性質，冪函數在（0，+∞）是單調減函數，且為偶函數，得冪指數小于0，再由m∈z可求m的值；

（2）由（I）知F（x）=a+（a﹣2）x，分a=0，a=2，a≠0且a≠2三種情況利用定義分別判斷函數的奇偶性．

(1)由于冪函數f(x)＝x在(0，＋∞)上單調遞減，所以m2－2m－3<0，求得－1<m<3，

因為m∈Z，所以m＝0,1,2.

因為f(x)是偶函數，

所以m＝1，

故f(x)＝.

(2)F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)

＝a·＋(a－2)x.

當a＝0時，F(x)＝－2x，對于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝－F(－x)，

所以F(x)＝－2x是奇函數；

當a＝2時，，對于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝F(－x)，

所以是偶函數；

當a≠0且a≠2時，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，

因為F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，

所以是非奇非偶函數．