Question

（2012•石景山區(qū)一模）若數(shù)列{A_n}滿足An+1=An2，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)及T_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（Ⅲ）記bn=log2an+1Tn，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象，結(jié)合新定義，可得數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，兩邊取對數(shù)，即可證得數(shù)列{lg（2a_n+1）}為首項(xiàng)是lg5公比為2的等比數(shù)列；
（II）由題意，lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，進(jìn)而先求對數(shù)的和，即可求得結(jié)論；
（III）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式可結(jié)論．

解答：（I）證明：因?yàn)?span id="egynj7p" class="MathJye">an+1=2an2+2an，2an+1+1=2(2an2+2an)+1=(2an+1)2
所以數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”．--------（2分）
由以上結(jié)論lg(2an+1+1)=lg(2an+1)2=2lg(2an+1)，
所以數(shù)列{lg（2a_n+1）}為首項(xiàng)是lg5公比為2的等比數(shù)列．--------（4分）
（II）解：由題意，lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1，
∴2an+1=52n-1，an=

1

2

(52n-1-1)．--------（6分）
∴lgTn=lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1．--------（9分）
（III）解：bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=2-

1

2n-1

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n-2+

1

2n-1

．--------（13分）
[注：若有其它解法，請酌情給分]

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．