Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，與的交點為，為側(cè)棱上一點.

（Ⅰ）當為側(cè)棱的中點時，求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）（理科）當二面角的大小為時，試判斷點在上的位置，并說明理由.

Answer 1

（文答案）證明：（Ⅰ）連接，由條件可得∥.
因為平面，平面，

所以∥平面.       ----------------------（6分）
（Ⅱ）證明：由已知可得，,是中點，
所以，
又因為四邊形是正方形，所以.
因為，所以.
又因為，所以平面平面.   --------（12分）
（理答案）（Ⅰ）證明：連接，由條件可得∥.

因為平面，平面，
所以∥平面.          ----------------------（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，.
建立如圖所示的空間直角坐標系.
設四棱錐的底面邊長為2，
則，，，
，，
.
所以，.
設（），由已知可求得.
所以，.
設平面法向量為，
則即  
令，得. 
易知是平面的法向量.
因為，
所以，所以平面平面.     -----------（8分）
（Ⅲ）解：設（），由（Ⅱ）可知，
平面法向量為.
因為，
所以是平面的一個法向量.
由已知二面角的大小為.
所以，
所以，解得.
所以點是的中點.     ---------（12分）  

略