【題目】已知點(diǎn)是橢圓E (a>b>0)上一點(diǎn),離心率為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓E交于P,Q兩點(diǎn),滿足直線OPPQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.

【答案】(1)(2)(0,).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)離心率得a,b,c三者關(guān)系,再代入點(diǎn)可得a2=4,b2=3.(2)因?yàn)橹本OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,可得 ,再直線l的方程為ykxm(m≠0),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入關(guān)系式得,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得高,根據(jù)弦長(zhǎng)公式得底邊邊長(zhǎng),結(jié)合三角形面積公式得關(guān)于m函數(shù)關(guān)系式,最后利用基本不等式求最值,得取值范圍

試題解析:解:(1)由題意知,,

所以,a2b2.

=1,解得a2=4,b2=3.

因此橢圓E的方程為

(2)由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,

故可設(shè)直線l的方程為ykxm(m≠0),

P(x1,y1),Q(x2y2),

消去y得,

(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.

由題意知Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)

=16(12k2-3m2+9)>0,

即4k2m2+3>0.

x1x2=-,x1x2

所以y1y2=(kx1m)(kx2m)

k2x1x2km(x1x2)+m2.

因?yàn)橹本OP,PQOQ的斜率依次成等比數(shù)列,

所以·k2

即(4k2-3)m2=0,

m≠0,∴k2.

由于直線OP,OQ的斜率存在,且Δ>0,

得0<m2<6,且m2≠3.

設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離,

SOPQd|PQ|

× |x1x2|

|m|

又因?yàn)?/span>m2≠3,

所以SOPQ<×.

所以△OPQ面積的取值范圍為(0).

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(2)該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大.

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(1)求橢圓C的離心率;

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