如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示.

（1）證明：平面；

（2）在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng).

 

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先利用三視圖將幾何體進(jìn)行還原，證明平面，要證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，由正視圖可以知道為等腰三角形，且為底邊的中點(diǎn)，利用三線合一可以得到，再利用，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明平面，于是得到，最終利用直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）注意到點(diǎn)為的中點(diǎn)，因此可以以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，連接交于點(diǎn)，利用中位線證明

，再結(jié)合直線與平面平行的判定定理可以得到平面，最終利用勾股定理求的長(zhǎng)度.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031907025306733135/SYS201403190704112861840646_DA.files/image023.png">平面，所以，

又，所以平面，所以．

由三視圖得，在中，，為中點(diǎn)，所以，平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使得，點(diǎn)即為所求．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031907025306733135/SYS201403190704112861840646_DA.files/image018.png">為中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031907025306733135/SYS201403190704112861840646_DA.files/image032.png">平面，平面，所以平面，

連接、，四邊形的對(duì)角線互相平分，

所以為平行四邊形，所以，

又平面，所以在直角中，．

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直；2直線與平面平行；3.勾股定理

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M．
（Ⅰ）求證：AD∥MN；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面ADMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青島一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點(diǎn)，過A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M．
（Ⅰ）求證：PD∥平面ANC；
（Ⅱ）求證：M是PC中點(diǎn)；
（Ⅲ）若PD⊥底面ABCD，PA=AB，BC⊥BD，證明：平面PBC⊥平面ADMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高三數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試 題型：044

如圖，在三棱錐P－ABC中，∠ACB=，∠B=，PC⊥平面ABC，AB=8，PC=6，M，N分別是PA，PB的中點(diǎn)，設(shè)△MNC所在平面與△ABC所在平面交于直線l．(1)判斷l與MN的位置關(guān)系；(2)求點(diǎn)M到l的距離．

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如圖，在四棱錐中，側(cè)面

是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是中點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的平面交于． 

(1)求證：；   (2)求證：是中點(diǎn)；(3)求證：平面⊥平面.

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如圖，在三棱錐P—ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，PC⊥平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，設(shè)△MNC所在平面與△ABC所在平面交于直線l,

(1)判斷l與MN的位置關(guān)系；

(2)求點(diǎn)M到l的距離.

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