Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)．若對(duì)任意的n∈N* ， 存在k∈N* ， 使得an+k2=anan+2k成立，則稱數(shù)列{an}為“Jk型”數(shù)列．
（1）若數(shù)列{an}是“J2型”數(shù)列，且a2=8，a8=1，求a2n；
（2）若數(shù)列{an}既是“J3型”數(shù)列，又是“J4型”數(shù)列，證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列，

∴ =anan+4

∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別組成等比數(shù)列

設(shè)偶數(shù)項(xiàng)組成的等比數(shù)列的公比為q，

∵a2=8，a8=1，∴ ，∴q=

∴a2n=8× =24﹣n；

（2）解：由題設(shè)知，當(dāng)n≥8時(shí)，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等比數(shù)列；an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等比數(shù)列．

從而當(dāng)n≥8時(shí)，an2=an﹣3an+3=an﹣6an+6，（*）且an﹣6an+6=an﹣2an+2．

所以當(dāng)n≥8時(shí)，an2=an﹣2an+2，即

于是當(dāng)n≥9時(shí)，an﹣3，an﹣1，an+1，an+3成等比數(shù)列，從而an﹣3an+3=an﹣1an+1，故由（*）式知an2=an﹣1an+1，

即 ．

當(dāng)n≥9時(shí)，設(shè) ，當(dāng)2≤m≤9時(shí)，m+6≥8，從而由（*）式知am+62=amam+12，

故am+72=am+1am+13，從而 ，

于是 ．

因此 對(duì)任意n≥2都成立．

因?yàn)? ，所以 ，

于是 ．

故數(shù)列{an}為等比數(shù)列．

【解析】（1）利用數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列，可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別組成等比數(shù)列，根據(jù)a2=8，a8=1，求出數(shù)列的公比，即可得到通項(xiàng)；（2）由題設(shè)知，當(dāng)n≥8時(shí)，an﹣6 ， an﹣3 ， an ， an+3 ， an+6成等比數(shù)列；an﹣6 ， an﹣2 ， an+2 ， an+6也成等比數(shù)列，可得 ，進(jìn)而可得 ， 對(duì)任意n≥2都成立，由此可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．