Question

已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別記為A,B。點(diǎn)S是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點(diǎn)。
（1）      求橢圓C的方程；
（2）      求線段MN長(zhǎng)度的最小值；
（3）      當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上的T滿(mǎn)足：T到直線AS的距離等于.
試確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)。

Answer 1

 解（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823180224981452.gif" style="vertical-align:middle;" />，且，所以
所以橢圓C的方程為         …………………………………………….3分
(2 ) 易知橢圓C的左，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為,直線AS的斜率顯然存在，且
故可設(shè)直線AS的方程為，從而
由得
設(shè)，則，得
從而，即
又,故直線BS的方程為
由得，所以
故
又，所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立
所以時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值        ………………………………..9分
（3）由（2）知，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，
此時(shí)AS的方程為，,
因?yàn)辄c(diǎn)T到直線AS的距離等于，
所以點(diǎn)T在平行于AS且與AS距離等于的直線上
設(shè)，則由，解得
① 當(dāng)時(shí)，由得
由于，故直線與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)
②時(shí)，由得
由于，故直線與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn)
綜上所求點(diǎn)T的個(gè)數(shù)是2.                ……………………………………………..14分

略