【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，．

（1）證明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點，連接，證明且平分得到答案.

（2）為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標，計算相應點坐標，計算法向量，利用二面角公式計算得到答案.

證明：（1）連接，交于點，連接，

因為側(cè)面為菱形，

所以，

且為與的中點，

又，,

所以平面.

由于平面，

故.

又，

故.

（2）因為，且為的中點，

所以，

又因為，

所以，

故，

從而兩兩相互垂直，為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標，

因為，

所以為等邊三角形，

設，

則，

，

設是平面的法向量，則

，

即，

所以.

設是平面的法向量，

則，

同理可取，

，

所以二面角的余弦值為-.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】△ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，＝(2b－c，a)，＝(cosA，－cosC)，且⊥．

(Ⅰ)求角A的大�。�

(Ⅱ)當y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值時，求角的大小.

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【題目】設經(jīng)過點的直線與拋物線相交于、兩點，經(jīng)過點的直線與拋物線相切于點.

（1）當時，求的取值范圍；

（2）問是否存在直線，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，已知，頂點P在平面ABC上的射影為的外接圓圓心.

（1）證明：平面平面ABC；

（2）若點M在棱PA上，，且二面角P-BC-M的余弦值為，試求的值.

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【題目】如圖，A、B為橢圓C：短軸的上、下頂點，P為直線l：y＝2上一動點，連接PA并延長交橢圓于點M，連接PB交橢圓于點N，已知直線MA，MB的斜率之積恒為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線MN與x軸平行，求直線MN的方程；

（3）求四邊形AMBN面積的最大值，并求對應的點P的坐標.

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【題目】某印刷廠為了研究單冊書籍的成本（單位：元）與印刷冊數(shù)（單位：千冊）之間的關系，在印制某種書籍時進行了統(tǒng)計，相關數(shù)據(jù)見下表：

印刷冊數(shù)（千冊）

單冊成本（元）

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：，方程乙：.

（1）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務.

①完成下表（計算結果精確到）；

印刷冊數(shù)（千冊）

單冊成本（元）

模型甲

估計值

殘差

模型乙

估計值

殘差

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和，并通過比較，判斷哪個模型擬合效果更好.

（2）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進行二次印刷，根據(jù)市場調(diào)查，新需求量為千冊，若印刷廠以每冊元的價格將書籍出售給訂貨商，求印刷廠二次印刷千冊獲得的利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本）.

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【題目】已知函數(shù)，的最大值為.

（1）求的值；

（2）試推斷方程是否有實數(shù)解？若有實數(shù)解，請求出它的解集.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國改革開放以來經(jīng)濟發(fā)展迅猛，某一線城市的城鎮(zhèn)居民2012～2018年人均可支配月收入散點圖如下（年份均用末位數(shù)字減1表示）.

（1）由散點圖可知，人均可支配月收入y（萬元）與年份x之間具有較強的線性相關關系，試求y關于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.001），依此相關關系預測2019年該城市人均可支配月收入；

（2）在2014～2018年的五個年份中隨機抽取兩個數(shù)據(jù)作樣本分析，求所取的兩個數(shù)據(jù)中，人均可支配月收入恰好有一個超過1萬元的概率.

注：，，，

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【題目】如圖，四棱錐，，，在底面上的投影在上．

（1）證明．

（2）為棱上一點，若與面所成的角和與面所成的角相等，求的值．

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