Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點稱為有理點．試根據(jù)這一定義，證明下列命題：若直線y=kx+b（k≠0）經(jīng)過點M（

2

，1），則此直線不能經(jīng)過兩個有理點．

Answer 1

證明：假設(shè)此直線上有兩個有理點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁、y₁、x₂、y₂均為有理數(shù)，則有y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，兩式相減，得y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∵斜率k存在，∴x₁≠x₂，得k=

y1-y2

x1-x2

．
而有理數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算后還是有理數(shù)，
故k為有理數(shù)．
又由y₁=kx₁+b知，b也是有理數(shù)．
又∵點M（

2

，1）在此直線上，∴1=

2

k+b，于是有

2

=

1-b

k

（k≠0）．此式左端為無理數(shù)，右端為有理數(shù)，顯然矛盾，故此直線不能經(jīng)過兩個有理點．