Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

3

，

3

2

），橢圓C左右焦點分別為F1，F2，上頂點為E，△EF1F2為等邊三角形．定義橢圓C上的點M（x₀，y₀）的“伴隨點”為N（

x0

a

，

y0

b

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C₁的方程為（x+2a）²+y²=a²，圓C₁和x軸相交于A，B兩點，點P為圓C₁上不同于A，B的任意一點，直線PA，PB交y軸于S，T兩點．當點P變化時，以ST為直徑的圓C₂是否經過圓C₁內一定點？請證明你的結論；
（Ⅲ）直線l交橢圓C于H、J兩點，若點H、J的“伴隨點”分別是L、Q，且以LQ為直徑的圓經過坐標原點O．橢圓C的右頂點為D，試探究△OHJ的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

3

，

3

2

），及橢圓幾何量的關系，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）確定直線PA，PB的方程，可得S，T兩點的坐標．當點P變化時，確定以ST為直徑的圓C₂的方程，令y=0，求得點的坐標，即可判斷否經過圓C₁內一定點；
（Ⅲ）分類討論，設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合以LQ為直徑的圓經過坐標原點O可得：3x₁x₂+4y₁y₂=0，從而可得△OHJ的面積，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由已知

3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2 c a = 1 2

，解得a²=4，b²=3，
∴方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）（y₀≠0），則(x0+4)2+y02=4．
又A（-6，0），B（-2，0），所以l_PA：y=

y0

x0+6

（x+6），S（0，

6y0

x0+6

），
l_PB：y=

y0

x0+2

（x+1），T（0，

2y0

x0+2

）．
圓C₂的方程為x²+(y-

6y0 x0+6 + 2y0 x0+2

2

)2=(

6y0 x0+6 + 2y0 x0+2

2

)2．
化簡得x²+y²-（

6y0

x0+6

+

2y0

x0+2

）y-12=0，
令y=0，得x=±2

3

．
又點（-2

3

，0），在圓C₁內，所以當點P變化時，以ST為直徑的圓C₂經過圓C₁內一定點（-2

3

，0）…（10分）
（Ⅲ）設H（x₁，y₁），J（x₂，y₂），則L（

x1

2

，

y1

3

），Q（

x2

2

，

y2

3

）；
1）當直線l的斜率存在時，設方程為y=kx+m，代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0；
有△=48（3+4k²-m²）＞0，x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

 ①…（12分）
由以LQ為直徑的圓經過坐標原點O可得：3x₁x₂+4y₁y₂=0；
整理得：(3+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0②
將①式代入②式得：3+4k²=2m²∴△＞0，
又點O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

∴HJ=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

4 3 |m|

2m2

所以S_△OHJ=

1

2

|HJ|d=

3

…（14分）
2）當直線l的斜率不存在時，設方程為x=m（-2＜m＜2）
聯(lián)立橢圓方程得：y2=

3(4-m2)

4

代入3x₁x₂+4y₁y₂=0得3m2-

3(4-m2)

4

=0
∴m=±

2 5

5

，y=±

2 15

5

∴S_△OHJ=

1

2

|HJ|d=

3

綜上：△OHJ的面積是定值

3

又△ODE的面積也為

3

，所以二者相等…（16分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．