Question

(本小題滿分12分)已知函數(shù).（）

（1）若函數(shù)有三個零點，且，，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，，試問：導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)是否有零點，并說明理由.

（3）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（4分）（2）導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個零點.（3）.

【解析】

試題分析：（1）因為，又，  

則  ………   （1分）

因為x₁，x₃是方程的兩根，則

，，.即      …… （2分）

從而：，

所以. 

令   解得： … ………          （3分）

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（4分）

（2）因為，，所以，

即.

因為，所以，即.       （5分）

于是，，.

①當(dāng)時，因為，

則在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點.        （6分）

②當(dāng)時，因為，

則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點.

故導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個零點.          （8分）

（3）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，則，.

所以.

由已知，，則，即.

所以，即或.               （10分）

又，，所以，即.

因為，所以. 

綜上分析，的取值范圍是.                          （12分）

考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運用

點評：可導(dǎo)函數(shù)的極值點都是導(dǎo)數(shù)等于零的點，求出結(jié)果要帶回去檢驗，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)與０的大小關(guān)系進行確定，導(dǎo)數(shù)大于０，原函數(shù)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于０，則原函數(shù)遞減，特別是函數(shù)含字母時，要注意字母對解不等式的影響，有時需要分類討論