Question

問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)M（2，1）作一斜率為1的直線交拋物線y²=2px（p＞0）于不同的兩點(diǎn)A，B，且點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，求p的值．請(qǐng)閱讀某同學(xué)的問(wèn)題解答過(guò)程：
解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，兩式相減，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又，y₁+y₂=2，因此p=1．
并給出當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)改為（2，m）（m＞0）時(shí)，你認(rèn)為正確的結(jié)論：________．

Answer 1

p=m（0＜m＜4）
分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，兩式相減，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又，y₁+y₂=2m所以p=m，將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，判別式大于0求出m的范圍．
解答：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式相減，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．
又，y₁+y₂=2m
所以
所以p=m
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150508.png' />消去x得
y²-2py+2pm-4p=0
即y²-2my+2m²-4m=0
△=4m²-4（2m²-4m）＞0
解得0＜m＜4
故答案為：p=m（0＜m＜4）
點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線相交有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，常利用點(diǎn)差法來(lái)解決，但注意需要將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，判別式大于0．