【題目】已知函數(shù).

1)過點e是自然對數(shù)的底數(shù))作函數(shù)圖象的切線l,求直線l的方程;

2)求函數(shù)在區(qū)間)上的最大值;

3)若,且對任意恒成立,求k的最大值.(參考數(shù)據(jù):

【答案】123)最大值是4.

【解析】

1)設出切點坐標為,求得導函數(shù)后,將橫坐標帶入可得切線的斜率.在切線方程上,可由點斜式表示出切線方程.帶入切點后,可求得切點的橫坐標.帶入切線方程即可求解.

2)求得導函數(shù),并令.即可求得極值點,并根據(jù)導函數(shù)符號判斷出為極小值點.討論兩種情況,即可根據(jù)單調(diào)性求得最大值.

3)因為,分類參數(shù).構(gòu)造函數(shù),求得導函數(shù),并令,再求得.通過的符號,判斷出的單調(diào)性.從而由零點存在定理可知上有且僅有一個零點.設這個零點為,結(jié)合函數(shù)可判斷出當,,,.從而可知處取得最小值.即可由整數(shù)求得的最大值.

1)設切點為,,

因為,所以,

因為切線過點,所以切線方程為,

代入切點,,

解得,代入①得直線l的方程為,

即直線l的方程為.

2)函數(shù),

,,

所以當,,,,

所以是極小值,

因為)恒成立,所以分如下兩種情況討論:

,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),

,

,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),

,

因為,

顯然,

所以,

綜上所述的最大值為.

3)由可知,所以等價于,

,,

,,恒成立,

所以上是增函數(shù),

又因為,,

所以上有且僅有一個零點,

記該零點為,

所以,也即,

所以當,,,,

所以處取得極小值,也是最小值,

,

所以整數(shù),

所以k的最大值是4.

練習冊系列答案
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