【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),
(1)求a的值;
(2)試判斷f(x)在(﹣∞,+∞)的單調(diào)性,并請(qǐng)你用函數(shù)單調(diào)性的定義給予證明;
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),

∴f(﹣x)= = =﹣f(x)= ,

∴a×2x+2=a+2x+1,

解得a=2.

檢驗(yàn):a=2時(shí),f(x)=

∴f(﹣x)= = ,

∴f(x)+f(﹣x)=0對(duì)x∈R恒成立,即f(x)是奇函數(shù).

∴當(dāng)函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù)時(shí),a的值為2


(2)解:由(1)知 ,f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).

證明如下:

令2x=t,則y= = =﹣ (1﹣ )=﹣ ,

在(﹣∞,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2

∵t=2x在(﹣∞,+∞)上是增函數(shù),∴0<t1<t2,

∴y1﹣y2=(﹣ )﹣(﹣ )= = ,

∵0<t1<t2,∴t2﹣t1>0,t1+1>0,t2+1>0,

∴y1﹣y2>0,

∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)


(3)解:∵f(x)是奇函數(shù),

∴不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,等價(jià)于不等式f(mt2+1)<f(mt﹣1)恒成立,

∵f(x)在R上是減函數(shù),

∴對(duì)任意的t∈R,mt2+1>mt﹣1恒成立,

整理,得:mt2﹣mt+2>0對(duì)任意的t∈R恒成立,

當(dāng)m=0時(shí),不等式為2>0恒成立,符合題意;

當(dāng)m≠0時(shí), ,解得0<m<8.

綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0,8)


【解析】(1)由奇函數(shù)性質(zhì)得f(﹣x)= =﹣f(x)= ,由此能求出a的值.(2) ,在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).令2x=t,由定義法能證明f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).(3)不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,等價(jià)于不等式f(mt2+1)<f(mt﹣1)恒成立,由f(x)在R上是減函數(shù),得對(duì)任意的t∈R,mt2+1>mt﹣1恒成立,由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用奇偶性與單調(diào)性的綜合,掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】化簡(jiǎn)求值
(1)計(jì)算: ﹣( 0+0.2 ×( 4;
(2)已知x +x =3,求 的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù), = .

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求滿足條件的最小正整數(shù)的值;

(2)求證: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3﹣x2+4x+3,若在區(qū)間[﹣2,1]上,f(x)≥0恒成立,則a的取值范圍是(
A.[﹣6,﹣2]
B.
C.[﹣5,﹣3]
D.[﹣4,﹣3]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣2x2+ax+b且f(2)=﹣3.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,3]上的值域;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞減,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展,居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如表:

年份

2010

2011

2012

2013

2014

時(shí)間代號(hào)x

1

2

3

4

5

儲(chǔ)蓄存款y (千億元)

5

6

7

8

10

附:回歸方程 中, =
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程 ;
(2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)今年的人民幣儲(chǔ)蓄存款.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1﹣x2
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào),直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(不必寫(xiě)出演算過(guò)程)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于0<a<1,給出下列四個(gè)不等式(
①loga(1+a)<loga(1+ );
②loga(1+a)<loga(1+ );
③a1+a<a
④a1+a<a ;
其中成立的是(
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x﹣2,g(x)=lnx+x2﹣3,若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則(
A.0<g(a)<f(b)
B.f(b)<g(a)<0
C.f(b)<0<g(a)
D.g(a)<0<f(b)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案