已知函數(shù),g(x)=ax3+cx2+bx+d都是奇函數(shù),其中a,b,c,d∈Z,且f(1)=2,f(2)<3,
(1)求a,b,c,d的值;
(2)求證:g(x)在R上是增函數(shù).
【答案】分析:(1)由題意可得f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)可求c=d=0
由f(1)==2及f(2)=<3,a,b,c,d∈Z,可求
(2)由(1)可得函數(shù)g(x)=x3+x,任取x1,x2∈R,且x1<x2,,利用單調(diào)性的定義,只要作差判斷g(x2)>g(x1),即可 證明
解答:解:(1)因?yàn)楹瘮?shù),g(x)=ax3+cx2+bx+d都是奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x),

解得c=0…(1分)
由g(-x)=-g(x)可得-ax3+cx2-bx+d=-ax3-cx2-bx-d
∴d=0…(2分)
,g(x)=ax3+bx
由f(1)==2得a=2b-1,…(3分)
代入f(x)中得,
∵f(2)=<3,即,
,所以b>0,由此可解得:…(4分)
考慮到a,b,c,d∈Z,所以b=1,所以a=2b-1=1,…(5分)
綜上知:a=1,b=1,c=0,d=0.…(6分)
證明(2)∵a=1,b=1,c=0,d=0,所以函數(shù)g(x)=x3+x,
任取x1,x2∈R,且x1<x2,…(1分)

∵x2-x1>0,,(如中間沒配方,則-2分)
∴g(x2)>g(x1),
∴g(x)在R上是增函數(shù).…(4分)
點(diǎn)評:本題 主要考查了利用奇函數(shù)的定義及函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)的解析式,函數(shù)的單調(diào)性定義在證明中的應(yīng)用,屬于中檔試題
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=g(x)與f(x)=loga(x+1)(a>1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
(1)寫出y=g(x)的解析式;
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)+m為奇函數(shù),試確定實(shí)數(shù)m的值;
(3)當(dāng)x∈[0,1)時(shí),總有f(x)+g(x)≥n成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=G(x)的圖象過原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)為y=f(x),函數(shù)f(x)=3x2+2bx+c且滿足f(1-x)=f(1+x).
(1)若f(x)≥0,對x∈[0,3]恒成立,求實(shí)數(shù)c的最小值.(2)設(shè)G(x)在x=t處取得極大值,記此極大值為g(t),求g(t)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)f(x)=(x-1)2(x≤0)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=
-
x
+1
(x≥1)
-
x
+1
(x≥1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=g(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),g(x)=log2x,函數(shù)f(x)=4-x2,則函數(shù)f(x)•g(x)的大致圖象為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知f(x)+2f(
1x
)=3x,求f(x)的解析式;
(2)已知函數(shù)y=g(x)定義域是[-2,3],求y=g(x+1)的定義域.

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