Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2,a_n+1·a_n(n∈N₊).
(1)求a₂,a₃,并求數(shù)列{a_n}的通項公式.
(2)設(shè)c_n=,求證:c₁+c₂+c₃+…+c_n<.

Answer 1

(1)a_n=n²·2ⁿ(n∈N₊)   (2)見解析

【解題指南】解答第(1)題的關(guān)鍵是根據(jù)a_n+1=2a_n(n∈N₊)證明數(shù)列為等比數(shù)列.第(2)題證明的關(guān)鍵是選準(zhǔn)放縮的標(biāo)準(zhǔn).
解:(1)因為a₁=2,a_n+1=2·a_n(n∈N₊),
所以a₂=2×·a₁=16,a₃=2×·a₂=72.
又因為=2·,n∈N₊,所以為等比數(shù)列.
所以=·2^n-1=2ⁿ,所以a_n=n²·2ⁿ(n∈N₊).
(2)c_n==,
所以c₁+c₂+c₃+…+c_n=+++…+<+++·
=+·<+·=+==<=,所以結(jié)論成立.