Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．如果對(duì)于函數(shù)f（x）的所有上界中有一個(gè)最小的上界，就稱其為函數(shù)f（x）的上確界．已知函數(shù)f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x，g(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，1]上的上確界T（m）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上遞減，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域?yàn)椋?，+∞）．由此可知函數(shù)f（x）在（-∞，0）上不是有界函數(shù)． 
（2）由|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，設(shè)t=(

1

2

)x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，-(t+

4

t

)≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立．由此入手，能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）g(x)=-1+

2

m•2x+1

，由m＞0，x∈[0，1]，知g（x）在[0，1]上遞減，所以

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

．由此進(jìn)行分類討論能夠求出T(m)=

| 1-m 1+m  m∈(0 2 2 ] | 1-2m 1+2m  ，m∈[ 2 2 ，+∞)

．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上遞減，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域?yàn)椋?，+∞）…（2分）
故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上不是有界函數(shù)．                          …（4分）
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立
設(shè)t=(

1

2

)x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3
∴-(t+

4

t

)≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立…（6分）
設(shè)h(t)=-t-

4

t

，p(t)=

2

t

-t，h（t）在（0，1]上遞增；p（t）在（0，1]上遞減，h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；p（t）在（0，1]上的最小值為p（1）=1，…（9分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．…（10分）
（3）g(x)=-1+

2

m•2x+1

，
∵m＞0，x∈[0，1]∴g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

…（12分）
當(dāng)|

1-m

1+m

|≥|

1-2m

1+2m

|，即m∈(0，

2

2

]時(shí)，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，
當(dāng)|

1-m

1+m

|＜|

1-2m

1+2m

|，即m∈[

2

2

，+∞)時(shí)，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，
綜上所述，T(m)=

| 1-m 1+m  m∈(0 2 2 ] | 1-2m 1+2m  ，m∈[ 2 2 ，+∞)

．                    …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，正確理解新定義，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．