Question

【題目】已知函數(shù)（其中），（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若對任意，總存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）， 算出m值，然后求出的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）因為對任意，總存在使得，

即成立，分別求與的最值即可.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為， ，

在處的切線斜率為，由，∴，

∴， ，令，得，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增.從而的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時， 有極小值， 沒有極大值；

（2）由， ，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，故有最小值，

因為對任意，總存在使得，

即成立，所以對任意，都有，

即，

也即成立，從而對任意，都有成立，

構(gòu)造函數(shù) ，則，令，得，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，∴的最大值為，∴，綜上，實數(shù)的取值范圍為.