Question

動圓M與⊙C₁：（x+3）²+y²=9外切，且與⊙C₂：（x-3）²+y²=1內(nèi)切．求：
（1）圓心M的軌跡方程；       
（2）圓M面積最小時圓的方程．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知體積列出關(guān)系式，結(jié)合圓錐曲線的定義，求出圓心M的軌跡方程；       
（2）欲使圓面積最小，只需半徑r最小，也就是|MC₁|=r+3取得最小值，
求出r，即可求出圓M面積最小時圓的方程．

解答：解：（1）根據(jù)題意，有

|MC1|=r+3 |MC2|=r-1

，∴|MC₁|-|MC₂|=4＜|C₁C₂|=6
所以，圓心M的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)的雙曲線的一支（右支）M的軌跡方程為

x2

4

-

y2

5

=1(x≥2)…8分
（2）欲使圓面積最小，只需半徑r最小，也就是|MC₁|=r+3取得最小值
顯然，曲線

x2

4

-

y2

5

=1(x≥2)上到點(diǎn)C₁（-3，0）距離最近的點(diǎn)恰為（2，0）
（此時|MC₂|=r-1也恰好取得最小值）即有M（2，0），r=2
∴圓M面積最小時圓的方程為（x-2）²+y²=4…12分

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查曲線軌跡方程的求法，圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．