Question

（09年西城區(qū)抽樣理）（14分）

已知的頂點(diǎn)A在射線上， A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且線段AB上有一點(diǎn)M滿足. 當(dāng)點(diǎn)A在l上移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為W.

    (Ⅰ) 求軌跡W的方程；

    (Ⅱ)設(shè)P(-1,0)，Q(2,0)，求證：.

Answer 1

 解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?I>A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以AB邊所在直線與y軸平行.                            

設(shè)M(x, y)，由題意，得，           ----------------------2分

     所以，                    

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514110936004.gif' width=108>，

所以，即，     ------------------------5分

所以點(diǎn)M的軌跡W的方程為.            ------------------6分

（Ⅱ）證明：設(shè)，

     因?yàn)榍�線關(guān)于x軸對(duì)稱，

     所以只要證明“點(diǎn)M在x軸上方及x軸上時(shí)，”成立即可.

     以下給出“當(dāng)時(shí)，” 的證明過程.     

因?yàn)辄c(diǎn)M在上，所以.

當(dāng)x₀=2時(shí)，由點(diǎn)M在W上，得點(diǎn)，

          此時(shí)，

          所以，則；  --------------8分

     當(dāng)時(shí)，直線PM、QM的斜率分別為，

          因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514110937020.gif' width=140>，所以，且，

          又，所以，且，   

    所以，--10分

    因?yàn)辄c(diǎn)M在W上，所以，即，

    所以，

    因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514110937032.gif' width=119>，

    所以，                     --------------------12分

    在中，因?yàn)?IMG height=40 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514110937024.gif' width=101>，且，，

    所以.                             

綜上，得當(dāng)時(shí)，.

所以對(duì)于軌跡W的任意一點(diǎn)M，成立.   --------------------14分