Question

有如下四個命題：
①命題“有的三角形是直角三角形”的否定為“所有的三角形都不是直角三角形”；
②為了得到函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的圖象，只需把函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移

π

4

個長度單位；
③過拋物線y²=4x的焦點F作直線交拋物線與A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）兩點，若x₁+x₂=4則弦長|AB|的值為6
④雙曲線的漸近線為y=±

3

4

x，則雙曲線的離心率為

5

4

；
其中真命題的序號為

①②③

．

Answer 1

分析：根據(jù)含有量詞的命題的否定，得到①正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，得到②正確；根據(jù)拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，算出當(dāng)x₁+x₂=4時，焦點弦的長|AB|=6，得③正確；根據(jù)雙曲線的焦點不一定在x軸上，可得當(dāng)漸近線為y=±

3

4

x時雙曲線的離心率為

5

4

或

5

3

，故④不正確．

解答：解：對于①，根據(jù)含有量詞的命題的否定，可得命題“有的三角形是直角三角形”
的否定為“所有的三角形都不是直角三角形”，故①正確；
對于②，把函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移

π

4

個長度單位，
得到y(tǒng)=sin[2（x-

π

4

）+

π

6

]=sin（2x-

π

3

）的圖象，所以②正確；
對于③，拋物線y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，因此拋物線上A（x₁，y₁）到準(zhǔn)線的距離為x₁+1
結(jié)合拋物線的定義可得A到焦點的距離等于x₁+1，同理B到焦點的距離等于x₂+1，
因此，A、B到焦點的距離之和等于x₁+x₂+2，
結(jié)合題意AB經(jīng)過焦點且x₁+x₂=4，得弦長|AB|=6，故③正確；
對于④，雙曲線的漸近線為y=±

3

4

x，則

b

a

=

3

4

或

a

b

=

3

4

，
因此雙曲線的離心率為

5

4

或

5

3

，故④不正確
故答案為：①②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)圖象平移公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線的定義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．