Question

【題目】某環(huán)境保護(hù)部門(mén)對(duì)某處的環(huán)境狀況用“污染指數(shù)”來(lái)監(jiān)測(cè)，據(jù)測(cè)定，該處的“污染指數(shù)”與附近污染源的強(qiáng)度和距離之比成正比，比例系數(shù)為常數(shù)，現(xiàn)已知相距的兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為1和，它們連線(xiàn)段上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和，設(shè)；

（1）試將表示為的函數(shù)，指出其定義域；

（2）當(dāng)時(shí)，處的“污染指數(shù)”最小，試求化工廠的污染強(qiáng)度的值；

Answer 1

【答案】(1) ， ; (2)

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)受污染源污染程度為，點(diǎn)受污染源污染程度為，其中為比例系數(shù)，且，則點(diǎn)處受污染程度是二者之和，定義域?yàn)?/span>.
（2）因?yàn)?/span> ，所以 ，令 ，得．

(1) 設(shè)點(diǎn)受污染源污染程度為，

點(diǎn)受污染源污染程度為.取值為比例系數(shù)且.
所以點(diǎn)點(diǎn)處受污染程度為，.

(2)由，所以，

當(dāng)時(shí)，處的“污染指數(shù)”最小，

即時(shí)，函數(shù)取得最小值.

由，則函數(shù)的最小值一定是對(duì)應(yīng)的極小值點(diǎn).

令，由，解得.

當(dāng)時(shí)，.

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件.

所以.