Question

如圖,在長(zhǎng)方體OAEB—O₁A₁E₁B₁中,|OA|=3,|OB|=4,|OO₁|=2,點(diǎn)P在棱AA₁上,且|AP|=2|PA₁|,點(diǎn)S在棱BB₁上,且|SB₁|=2|BS|,點(diǎn)Q,R分別是棱O₁B₁,AE的中點(diǎn).

求證:PQ∥RS.

Answer 1

分析：利用向量證明PQ∥RS,只需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,表示出,的坐標(biāo),然后利用共線向量定理判定向量共線,從而得到直線平行.

證明：如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.

則A(3,0,0),B(0,4,0),O₁(0,0,2),A₁(3,0,2),B₁(0,4,2).

因?yàn)閨PA|=2|PA₁|,|SB₁|=2|BS|,Q,R分別是棱O₁B₁,AE的中點(diǎn),所以P(3,0,),Q(0,2,2,),R(3,2,0),S(0,4,).

所以=(-3,2,)=.

所以∥.

因?yàn)镽PQ,所以PQ∥RS.

點(diǎn)撥：利用向量坐標(biāo)運(yùn)算證明線線平行時(shí),(1)需證明兩向量共線;(2)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上.