Question

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線(xiàn)x+y-1=0與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=

8 6

11

．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求拋物線(xiàn)的方程為y²=2px，將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得P值，從而解決問(wèn)題．
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x軸上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C（x₀，0），再利用△ABC為正三角形，求出CD的長(zhǎng)，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）設(shè)所求拋物線(xiàn)的方程為y²=2px（p＞0），
由

y2=2px x+y-1=0

消去y，
得x²-2（1+p）x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2（1+p），
x₁•x₂=1．∵|AB|=

8 6

11

，
∴

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8 6

11

，
∴121p²+242p-48=0，
∴p=

2

11

或-

24

11

（舍）．
∴拋物線(xiàn)的方程為y²=

4

11

x．

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則D(

13

11

，-

2

11

)．
假設(shè)x軸上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C（x₀，0），∵△ABC為正三角形，
∴CD⊥AB，∴x₀=

15

11

．
∴C（

15

11

，0），∴|CD|=

2 2

11

．
又∵|CD|=

3

2

|AB|=

12 2

11

，
故矛盾，∴x軸上不存在點(diǎn)C，使△ABC為正三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．