Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=-n²+n，試求出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

a₁=S₁=-+=101．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-3n+104．
∵a₁也適合a_n=-3n+104，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-3n+104（n∈N^*）．
由a_n=-3n+104≥0，得n≤34.7，即當(dāng)n≤34時(shí)，a_n>0；當(dāng)n≥35時(shí)，a_n＜0．
（1）當(dāng)n≤34時(shí)，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+n．
（2）當(dāng)n≥35時(shí)，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₃₄|+|a₃₅|+|a₃₆|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₃₄）-（a₃₅+a₃₆+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₃₄）-（a₁+a₂+…+a_n）
=2S₃₄-S_n
=2（-×34²+×34）-（-n²+n）
=n²-n+3 502．
故T_n=

對(duì)于帶絕對(duì)值號(hào)的數(shù)列求和問題，應(yīng)先弄清n取什么值時(shí)a_n>0或a_n<0，然后求解．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)n在什么范圍內(nèi)取值時(shí)a_n>0或a_n<0的討論．應(yīng)注意的是當(dāng)n≥35時(shí)，|a_n|=-a_n也是一個(gè)等差數(shù)列，在這種情況下如何求和的問題要掌握好．由S_n=-n²+n，知S_n是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次式，所以{a_n}是等差數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)a_n，然后再判斷哪些項(xiàng)為正的，哪些項(xiàng)為負(fù)的，最后求?出T_n．