【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)向量 =(a, ), =(cosC,c﹣2b),且 ⊥ .
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由題意 ⊥ .可知: , 即acosC+ =b,得sinAcosC+ sinC=sinB.
又sinB=sin(A+C)=sinAcosB+cosAsinC.
∴ ,∵sinC≠0,∴cosA= .
又0<A<π∴A= .
(Ⅱ)由正弦定理得:b= , ,
l=a+b+c=1+ =1+
=1+2( )
=1+2sin(B+ ).
∵A= .
∴B∈ ,∴B+ ,
∴sin(B+ ) .
故△ABC的周長l的范圍為(2,3]
【解析】(Ⅰ)利用向量的垂直,推出數(shù)量積為0,通過三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù),確定角A的大;(Ⅱ)若a=1,利用正弦定理求出b、c的表達(dá)式,通過三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)化簡表達(dá)式,根據(jù)角的范圍,確定三角函數(shù)的范圍,然后求△ABC的周長l的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握若平面的法向量為,平面的法向量為,要證,只需證,即證;即:兩平面垂直兩平面的法向量垂直才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB= ,EF=1,BC= ,且M是BD的中點(diǎn)..
(1)求證:EM∥平面ADF;
(2)求直線DF和平面ABCD所成角的正切值;
(3)求二面角D﹣AF﹣B的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 平面,已知為線段的中點(diǎn).
(I)求證: 平面;
(II)求平面與平面所成銳二面角的余弦角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)x,y滿足不等式組 ,若z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.[﹣1,2]
B.[﹣2,1]
C.[﹣3,﹣2]
D.[﹣3,1]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+ )(其中ω>0,x∈R)的最小正周期為10π.
(1)求ω的值;
(2)設(shè)α,β∈[0, ],f(5α+ )=﹣ ,f(5β﹣ )= ,求cos(α+β)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊, .
(1)求角B的大;
(2)若 ,求a+c的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為( )
A.130
B.170
C.210
D.260
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg), 其頻率分布直方圖如下:
(1) 記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,估計(jì)A的概率;
(2) 填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50kg | 箱產(chǎn)量≥50kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3) 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行較。
附:
P() | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,BC⊥平面APC,AB=2 ,AP=PC=CB=2.
(1)求證:AP⊥平面PBC;
(2)求二面角P﹣AB﹣C的大。
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