Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；
（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；
（3）若對任意恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）2；（2）見解析；（3）.

解析試題分析：(1)利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性求函數(shù)最值；（2）利用分離參數(shù)法，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，令利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，進而求出的取值范圍；
（3）由條件中的任意性，可知,利用導(dǎo)函數(shù)可得, 分離參數(shù)既有.
試題解析：（1）解：
當(dāng)時，令，解得；令,解得。
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。
即                               .      4分
解： 由，可得，要使有零點，則令,則。
令，則。
若,則；若，則.
即函數(shù)在單調(diào)遞增，值域為,在單調(diào)遞減，值域為。
大致畫出函數(shù)的圖象：

由圖可知，當(dāng)或時，只有一個零點；當(dāng)時，有2個零點；
當(dāng)時，沒有零點。                                        10分
由（1）可知.
當(dāng)對于任意恒成立，即，
所以有,即.
故                            &