Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若f（x）﹣2a+1≥0對(duì)x∈[﹣2，4]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣6x﹣9，

令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，

令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣1，3）

（2）解：由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1]上單調(diào)遞增，在[﹣1，3]上單調(diào)遞減，在[3，4]上單調(diào)遞增，

又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣26，f（3）＜f（﹣2），

∴f（x）min=﹣26，

∵f（x）﹣2a+1≥0對(duì)x∈[﹣2，4]恒成立，

∴f（x）min≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，

∴a≤﹣

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出端點(diǎn)值和極值，從而求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．