如下圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，，PA⊥底面ABCD，且，M是PB的中點．

(1)證明：面PAD⊥面PCD；

(2)求AC與PB所成的角的余弦值；

(3)求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.

答案：略
解析：

證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理，得CD⊥PD．

因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD、PD都垂直，∴CD⊥面PAD．

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

(2)解：過點B作BE∥CA，且BE=CA．

則是AC與PB所成的角或是其補角.連結(jié)AE，可知，又AB=2，

∴四邊形ACBE為正方形(如圖)．

由PA⊥面ABCD，得，

在中，，

∴．

(3)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN.在中，AM=MB，

又AC=CB，∴，

∴BN⊥CM，故為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在中，CM=MB，

∴CM=AM．

∵在等腰三角形AMC中，

，

∴.∵AB=2，

∴.


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