已知函數(shù).
(1)若為定義域上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)m=-1時(shí),求函數(shù)的最大值;
(3)當(dāng),時(shí),證明:.
(1)m≥0(2)0(3)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明
解析試題分析:(1)由已知得,
所以 2分
若f(x)在上是增函數(shù),則,即在恒成立,
而,故m≥0; 4分
若f(x)在上是減函數(shù),則,即在恒成立,
而,故這樣的m不存在. 5分
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m≥0時(shí), 對恒成立,
∴當(dāng)m≥0時(shí),f(x)在定義域上是單調(diào)增函數(shù). 6分
(2)當(dāng)m =-1時(shí), ,則 7分
當(dāng)時(shí),,此時(shí)f(x)為增函數(shù),
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)f(x)為減函數(shù) 9分
∴f(x)在x = 0時(shí)取得最大值,最大值為0. 10分
(3)當(dāng)m = 1時(shí),令, 11分
在[0,1]上總有,即在[0,1]上遞增 , 12分
∴當(dāng)時(shí),,即, 13分
令,由(2)知它在[0,1]上遞減,
所以當(dāng)時(shí),,即 , 14分
綜上所述,當(dāng)m = 1,且時(shí),. 15分
考點(diǎn):本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等和構(gòu)造函數(shù)證明不等式.
點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),不要漏掉函數(shù)的定義域,求函數(shù)的極值、最值等時(shí)最好列表格說明,證明不等式一般要構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,求實(shí)數(shù)與的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,函數(shù)
(1)求的極小值;
(2)若在上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè),若在(是自然對數(shù)的底數(shù))上至少存在一個(gè),使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,函數(shù).
(1)若是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)、,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) (a>0,且a≠1),=.
(1)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A,求A點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2,),證明:函數(shù)在(1,2)上有唯一的零點(diǎn).
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設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)若a=,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) ,且能表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和.
(1)求和的解析式.
(2)命題:函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);命題:函數(shù)是減函數(shù),如果命題、有且僅有一個(gè)是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,比較和的大小.
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