精英家教網(wǎng)如圖,球心到截面的距離為半徑的一半,BC是截面圓的直徑,D是圓周上一點,CA是球O的直徑.
(1)求證:平面ABD⊥平面ADC;
(2)如果球半徑是
13
,D分
BC
為兩部分,且
BD
DC
=1:2
,求AC與BD所成的角.
分析:(1)由已知中BC是截面圓的直徑,D是圓周上一點,CA是球O的直徑.由圓周角定理,可得CD⊥BD,CD⊥AD,由線面垂直的判定定理,可得CD⊥平面ABD,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面ABD⊥平面ADC;
(2)根據(jù)球半徑是
13
,D分
BC
為兩部分,且
BD
DC
=1:2
,我們可以分別求出cos∠ACB,cos∠CBD,然后利用三余弦定理,即可得到答案.
解答:證明:(1)∵BC是截面圓的直徑,D是圓周上一點,CA是球O的直徑.
∴CD⊥BD,CD⊥AD,又由BD∩AD=D
∴CD⊥平面ABD,又由CD?平面ADC
∴平面ABD⊥平面ADC;
解:(2)∵球心到截面的距離為半徑的一半,球半徑AC=
13

則BC=
39
,∴cos∠ACB=
3
2

又∵D分
BC
為兩部分,且
BD
DC
=1:2

∴cos∠CBD=
1
2

設(shè)AC與BD所成的角為θ,
由三余弦定理得:Cosθ=
3
4

則AC與BD所成的角為arccos
3
4
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,其中求平面的一條斜線與平面內(nèi)一條直線的夾角時所用的三余弦定理是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正四面體內(nèi)接于半徑為R的球,用一平面去截此正四面體和球,其截面如圖,則球心到截面的距離為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分14分)第一題滿分7分,第二題滿分7分.

如圖,用一平面去截球,所得截面面積為,球心到截面的距離為,為截面小圓圓心,為截面小圓的直徑。

(1)計算球的表面積;

(2)若是截面小圓上一點,M、N分別是線段的中點,求異面直線所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).

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如圖,用一平面去截球,所得截面面積為,球心到截面的距離為,為截面小圓圓心,為截面小圓的直徑。

(1)計算球的表面積;

(2)若是截面小圓上一點,M、N分別是線段的中點,求異面直線所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備(第82課時):第九章 直線、平面、簡單幾何體-球與多面體(解析版) 題型:解答題

如圖,球心到截面的距離為半徑的一半,BC是截面圓的直徑,D是圓周上一點,CA是球O的直徑.
(1)求證:平面ABD⊥平面ADC;
(2)如果球半徑是,D分為兩部分,且,求AC與BD所成的角.

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