【題目】在平面直角坐標系中,已知矩形的長為2,寬為1,.邊分別在軸.軸的正半軸上,點與坐標原點重合(如圖所示)。將矩形折疊,使點落在線段上。
(1)若折痕所在直線的斜率為,試求折痕所在直線的方程;
(2)當時,求折痕長的最大值;
(3)當時,折痕為線段,設,試求的最大值。
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)對k=0,分類討論,將矩形折疊后點落在線段上的點記為,先求G的坐標,再求折痕所在的直線與的交點坐標,寫出直線的點斜式方程.(2) 先求出折痕直線交于點,交軸于,再求的最大值,即得折痕長的最大值.(3)先求得,再求t的表達式和其最大值.
(1) ①當時,此時點與點重合, 折痕所在的直線方程
②當時,將矩形折疊后點落在線段上的點記為,
所以與關于折痕所在的直線對稱,
有
故點坐標為,
從而折痕所在的直線與的交點坐標(線段的中點)為
折痕所在的直線方程,即
由①②得折痕所在的直線方程為:
(2)當時,折痕的長為2;
當時,折痕直線交于點,交軸于
∵
∴折痕長度的最大值為。
而 ,故折痕長度的最大值為
(3)當時,折痕直線交于,交軸于
∵ ∴
∵ ∴(當且僅當時取“=”號)
∴當時,取最大值,的最大值是。
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【題目】收入是衡量一個地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展水平的重要標志之一,影響收入的因素有很多,為分析學歷對收入的作用,某地區(qū)調(diào)查機構欲對本地區(qū)進行了此項調(diào)查.
(1)你認為應采用何種抽樣方法進行調(diào)查?
(2)經(jīng)調(diào)查得到本科學歷月均收入條形圖如圖,試估算本科學歷月均收入的值?
(3)設學年為,令,月均收入為,已知調(diào)查機構調(diào)查結果如下表
學歷 (年) | 小學 | 初中 | 高中 | 本科 | 碩士生 | 博士生 |
6 | 9 | 12 | 16 | 19 | 22 | |
2.0 | 2.7 | 3.7 | 5.8 | 7.8 | ||
2210 | 2410 | 2910 | 6960 |
從散點圖中可看出和的關系可以近似看成是一次函數(shù)圖像. 若回歸直線方程為,試預測博士生的平均月收入.
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【題目】已知函數(shù)定義在上且滿足下列兩個條件:
①對任意都有;
②當時,有,
(1)求,并證明函數(shù)在上是奇函數(shù);
(2)驗證函數(shù)是否滿足這些條件;
(3)若,試求函數(shù)的零點.
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【題目】在數(shù)列{an}中,前n項和為Sn , 且Sn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 且bn=
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在m,n∈N* , 使得Tn=am , 若存在,求出所有滿足題意的m,n,若不存在,請說明理由.
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【題目】 在平行四邊形ABCD中,A(1,1),=(6,0),點M是線段AB的中點,線段CM與BD交于點P.(1) 若=(3,5),求點C的坐標;(2) 當||=||時,求點P的軌跡.
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【題目】已知函數(shù).
(1)設.
①若,求函數(shù)的零點;
②若函數(shù)存在零點,求的取值范圍.
(2)設,若對任意恒成立,試求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)滿足:對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2成立,且x>0時,f(x)>2,
(1)求f(0)的值,并證明:當x<0時,1<f(x)<2.
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明.
(3)若函數(shù)g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上遞減,求實數(shù)k的取值范圍.
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