將圓x2+y2=4壓扁得到橢圓C,方法是將該圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
3
2
倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)F2,直線l過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸,點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn),過點(diǎn)P且垂直于l的動直線l1與線段PF2垂直平分線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C′的方程;
(3)設(shè)過點(diǎn)(0,-2)但不經(jīng)過第一象限的直線l2與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
=0
(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l2的方程.
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分析:(1)在曲線C上任取一個動點(diǎn)(x,y),圓x2+y2=4上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x',y'),進(jìn)而根據(jù)條件得出
x=x′
y=
3
2
y′
,即可求出橢圓方程.
(2)把條件轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)M到定點(diǎn)F2(1,0)的距離等于它到直線l:x=-1的距離即可求出點(diǎn)M的軌跡的方程.
(3)當(dāng)直線的斜率不存在時,不滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=kx-2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
OA
OB
=0
,知x1x2+y1y2=0,由y1=kx1-2,y2=kx2-2,知y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4,然后聯(lián)立直線與圓錐曲線,由此入手能夠求出直線的方程.
解答:解:(1)在所求橢圓上C上任取一個動點(diǎn)(x,y),圓x2+y2=4上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x',y')
由題意可得
x=x′
y=
3
2
y′
 
∵x'2+y'2=4.
∴x2+
4
3
y2=4
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由條件,知|MF2|=|MP|,
即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F2(1,0)的距離等于它到直線l:x=-1的距離,
由拋物線的定義得點(diǎn)M的軌跡的方程是y2=4x.
(3)當(dāng)直線的斜率不存在時,不滿足題意.
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為y=kx-2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
OA
OB
=0

∴x1x2+y1y2=0,
∵y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4,
∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0.①
由方程組
x2
4
+
y2
3
=1 
y=kx-2

得(3+4k2)x2-16kx+4=0.
則x1+x2=
16k
3+4k2
,x1x2=
4
3+4k2

代入①,得(1+k2)•
4
3+4k2
-2k•
16k
3+4k2
+4=0,
即3k2=4,解得k=
2
3
3
或k=-
2
3
3
,
∵直線不經(jīng)過第一象限,且k=-
2
3
3
時,△>0
∴k=-
2
3
3
滿足條件,
∴直線的方程是y=-
2
3
3
x-2.
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程成以及橢圓方程和直線方程的求法,對于(3)問解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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將圓x2+y2=4壓扁得到橢圓C,方法是將該圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="acg6q14" class="MathJye">
3
2
倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)F2,直線l過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸,點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn),過點(diǎn)P且垂直于l的動直線l1與線段PF2垂直平分線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C′的方程;
(3)是否存在過點(diǎn)(0,-2)的直線l2與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),使以AB為直徑的圓過點(diǎn)O(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求直線l2的方程;若不存在,說明理由.
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將圓x2+y2=4壓扁得到橢圓C,方法是將該圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span dealflag="1" mathtag="math" >
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2
倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)F2,直線l過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸,點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn),過點(diǎn)P且垂直于l的動直線l1與線段PF2垂直平分線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C′的方程;
(3)是否存在過點(diǎn)(0,-2)的直線l2與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),使以AB為直徑的圓過點(diǎn)O(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求直線l2的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年廣東省東莞市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

將圓x2+y2=4壓扁得到橢圓C,方法是將該圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222837800579123/SYS201311012228378005791019_ST/0.png">倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)F2,直線l過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸,點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn),過點(diǎn)P且垂直于l的動直線l1與線段PF2垂直平分線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C′的方程;
(3)設(shè)過點(diǎn)(0,-2)但不經(jīng)過第一象限的直線l2與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),且(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l2的方程.

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