已知向量
p
=(cos2x,a),
q
=(a,2+
3
sin2x
),函數(shù)f(x)=
p
q
-5(a∈R,a≠0)
(1)求函數(shù)f(x)在[0,
π
2
]
上的最大值
(2)當(dāng)a=2時(shí),若對任意的t∈R,函數(shù)y=f(x),x∈(t,t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),試確定b的值,(不必證明),并求函數(shù)y=f(x)在(0,b]上的單調(diào)遞增區(qū)間.
分析:(1)把向量的坐標(biāo)代入
p
q
,再由兩角和的正弦公式對解析式整理,再由x∈[0,
π
2
]
求出2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
]
,再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1]
,最后再對a進(jìn)行分類求出對應(yīng)的最大值;
(2)把a(bǔ)的值代入求出函數(shù)的周期,再由條件和正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)求出b的值,再由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和整體思想求出增區(qū)間,再結(jié)合x的范圍求出增區(qū)間.
解答:解:(1)由題意得f(x)=
p
q
-5
=acos2x+
3
asin2x+2a-5

=2asin(2x+
π
6
)+2a-5
,
x∈[0,
π
2
]
,∴2x+
π
6
∈[
π
6
6
]
,
sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1]
,
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的最大值為4a-5,
當(dāng)a<0時(shí),f(x)的最大值為a-5,
(2)當(dāng)a=2時(shí),y=f(x)=-4sin(2x+
π
6
)-1
,
∴函數(shù)的最小正周期為π,
∵函數(shù)y=f(x),x∈(t,t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
-4sin(2x+
π
6
)-1=-1
,即-4sin(2x+
π
6
)
=0在∈(t,t+b]上有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根,
∴b的值為π,
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ
得,
π
6
+kπ≤x≤
3
+kπ
,(k∈Z)
∵x∈[0,π],∴k=0,
函數(shù)y=f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[
π
6
,
3
]
點(diǎn)評:本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)公式應(yīng)用,以及正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,考查了分類討論思想和整體思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
p
=(2cosωx+2sinωx,f(x))
q
=(1,cosωx)
,ω>0且
p
q
,函數(shù)f(x)圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離是2π.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x+φ),φ∈(0,π),若g(x)為偶函數(shù),求g(x)的最大值及相應(yīng)的x值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
p
=(2cosωx+2sinωx,f(x))
,
q
=(1,cosωx)
,ω>0且
p
q
,函數(shù)f(x)圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離是2π.
(1)求ω值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x+φ),φ∈(0,π),若g(x)為偶函數(shù),求g(x)的最大值及相應(yīng)的x值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
p
=(-cos 2x,a),
q
=(a,2-
3
sin 2x),函數(shù)f(x)=
p
q
-5(a∈R,a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)(x∈R)的值域;
(2)當(dāng)a=2時(shí),若對任意的t∈R,函數(shù)y=f(x),x∈(t,t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),試確定b的值(不必證明),并求函數(shù)y=f(x)的在[0,b]上單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
p
=(-cos 2x,a),
q
=(a,2-
3
sin 2x),函數(shù)f(x)=
p
q
-5(a>0).
(1)求函數(shù)f(x)(x∈R)的值域;
(2)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)y=f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
p
=(-cos 2x,a),
q
=(a,2-
3
sin 2x),函數(shù)f(x)=
p
q
-5(a∈R,a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)(x∈R)的值域;
(2)當(dāng)a=2時(shí),若對任意的t∈R,函數(shù)y=f(x),x∈(t,t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),試確定b的值(不必證明),并求函數(shù)y=f(x)的在[0,b]上單調(diào)遞增區(qū)間.

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