Question

如圖，已知橢圓

x2

m

+

y2

m-1

=1(2≤m≤5)，過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設(shè)f（m）=||AB|-|CD||．
（1）求f（m）的解析式；
（2）求f（m）的最值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的方程可得準線方程，進而得到A，D的坐標，直線與橢圓的方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)關(guān)系，和兩點間的距離公式，即可得到f（m）；
（2）利用（1）及其反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a²=m，b²=m-1，c²=a²-b²=1．
∴橢圓的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），故直線的方程為y=x+1，
又橢圓的準線方程為x=±

a2

c

，即x=±m(xù)，
∴A（-m，-m+1），D（m，m+1）
聯(lián)立 

y=x+1 x2 m + y2 m-1 =1

，消去y得：（m-1）x²+m（x+1）²=m（m-1），
整理得：（2m-1）x²+2mx+2m-m²=0，△=4m²-4（2m-1）（2m-m²）=8m（m-1）²，
∵2≤m≤5，∴△＞0恒成立，∴xB+xC=

-2m

2m-1

．
又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上，∴|AB|=

2

|xA-xB|=

2

(xB-xA)，|CD|=

2

(xD-xC)，
∴||AB|-|CD||=

2

|(xB+xC)-(xA+xD)|，
又∵xA=-m?，xD=m，∴x_A+x_D=0．
∴||AB|-|CD||=

2

|xB+xC|=

2 2 |m|

|2m-1|

=

2 2 m

2m-1

(2≤m≤5)，
∴f(m)=

2 2 m

2m-1

，m∈[2，5]．
（2）由f(m)=

2 2 m

2m-1

，可知f(m)=

2 2

2- 1 m

，又2-

1

2

≤2-

1

m

≤2-

1

5

，
∴f(m)∈[

10 2

9

，

4 2

3

]．
故f（m）的最大值為

4 2

3

，此時m=2；f（m）的最小值為

10 2

9

，此時m=5．

點評：本題可憐蟲直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)關(guān)系、兩點間的距離公式、反比例函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．