【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩神坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,

(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)在曲線上求一點(diǎn),使它到直線 為參數(shù))的距離最短,寫(xiě)出點(diǎn)的直角坐標(biāo).

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)利用極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化公式進(jìn)行求解;(Ⅱ)消參得到直線的直角坐標(biāo)方程,確定最優(yōu)解,利用直線的斜率公式和兩條直線垂直進(jìn)行求解.

試題解析:(Ⅰ)由, ,可得

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為

(Ⅱ)直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去的普通方程為, 相離,設(shè)點(diǎn),且點(diǎn)到直線 的距離最短,

則曲線在點(diǎn)處的切線與直線 平行,

,又

(舍)或,∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

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