【題目】已知函數(shù),其中
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值;
(Ⅱ)若,函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有零點(diǎn),求
的取值范圍
【答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
.(Ⅱ)
的范圍為
.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)易得,再對(duì)分
情況確定
的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)
在
上的單調(diào)性即可得
在
上的最小值.(Ⅱ)設(shè)
為
在區(qū)間
內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),注意到
.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知,導(dǎo)函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)存在零點(diǎn)
,
在區(qū)間
內(nèi)存在零點(diǎn)
,即
在區(qū)間
內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn). 由(Ⅰ)可知,當(dāng)
及
時(shí),
在
內(nèi)都不可能有兩個(gè)零點(diǎn).所以
.此時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,因此
,且必有
.由
得:
,代入這兩個(gè)不等式即可得
的取值范圍.
試題解答:(Ⅰ)
①當(dāng)時(shí),
,所以
.
②當(dāng)時(shí),由
得
.
若,則
;若
,則
.
所以當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增,所以
.
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,所以
.
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,所以
.
(Ⅱ)設(shè)為
在區(qū)間
內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則由
可知,
在區(qū)間
上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減.
則不可能恒為正,也不可能恒為負(fù).
故在區(qū)間
內(nèi)存在零點(diǎn)
.
同理在區(qū)間
內(nèi)存在零點(diǎn)
.
所以在區(qū)間
內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).
由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增,故
在
內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,故
在
內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
所以.
此時(shí),在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
因此,必有
.
由得:
,有
.
解得.
當(dāng)時(shí),
在區(qū)間
內(nèi)有最小值
.
若,則
,
從而在區(qū)間
上單調(diào)遞增,這與
矛盾,所以
.
又,
故此時(shí)在
和
內(nèi)各只有一個(gè)零點(diǎn)
和
.
由此可知在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
所以,
,
故在
內(nèi)有零點(diǎn).
綜上可知,的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,其中
為常數(shù);
(1)若,且
是奇函數(shù),求
的值;
(2)若,
,函數(shù)
的最小值是
,求
的最大值;
(3)若,在
上存在
個(gè)點(diǎn)
,滿足
,
,
,使得
,
求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)
在線段
上移動(dòng),有下列判斷:①平面
平面
;②平面
平面
;③三棱錐
的體積不變;④
平面
.其中,正確的是______.(把所有正確的判斷的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(個(gè))和溫度
(
)的7組觀測(cè)數(shù)據(jù),其散點(diǎn)圖如所示:
根據(jù)散點(diǎn)圖,結(jié)合函數(shù)知識(shí),可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)和溫度
可用方程
來擬合,令
,結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知
與溫度
可用線性回歸方程來擬合.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),計(jì)算得到如下值:
27 | 74 | 182 |
表中,
.
(1)求和溫度
的回歸方程(回歸系數(shù)結(jié)果精確到
);
(2)求產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度
的回歸方程;若該地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)的氣溫在
之間(包括
與
),估計(jì)該品種一只昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.(參考數(shù)據(jù):
,
,
,
,
.)
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),
,…,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A地的天氣預(yù)報(bào)顯示,A地在今后的三天中,每一天有強(qiáng)濃霧的概率為,現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率,先利用計(jì)算器產(chǎn)生
之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),并用0,1,2,3,4,5,6表示沒有強(qiáng)濃霧,用7,8,9表示有強(qiáng)濃霧,再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組,代表三天的天氣情況,產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)40名數(shù)學(xué)教師,按年齡從小到大編號(hào)為1,2,…40,F(xiàn)從中任意選取6人分成兩組分配到A,B兩所學(xué)校從事支教工作,其中三名編號(hào)較小的教師在一組,三名編號(hào)較大的教師在另一組,那么編號(hào)為8,12,28的數(shù)學(xué)教師同時(shí)入選并被分配到同一所學(xué)校的方法種數(shù)是
A. 220 B. 440 C. 255 D. 510
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),其前
項(xiàng)和為
,且滿足:
,
,其中
,常數(shù)
.
(1)求證:是一個(gè)定值;
(2)若數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)
,使得對(duì)任意
,都有
成立,則稱
為周期數(shù)列,
為它的一個(gè)周期),求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,
(
),問:數(shù)列
中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列
中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)說明理由;若不是,請(qǐng)舉出反例.
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