Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，PB與DC所成角為45°，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，E是BC上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2 AB，求直線AP與平面PDE所成角的大�。�．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AP=AB=2，BE=a則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0）
于是， ， ，
則 ，
所以AF⊥PE．
（Ⅱ）若 ，則 ， ，
=（2 ，2，﹣2），
設(shè)平面PDE的法向量為 =（x，y，z），
由 ，得： ，令x=1，則 ，
于是 ，而
設(shè)直線AP與平面PDE所成角為θ，
則sinθ= = ．
∴直線AP與平面PDE所成角為60°．

【解析】（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及向量PE，AF的坐標(biāo)，得到其數(shù)量積為0即可證明結(jié)論．（Ⅱ）先根據(jù)條件求出D的坐標(biāo)以及 ， 的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面PDE的法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系和用空間向量求直線間的夾角、距離的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即;則要證明，只需證明，即；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．