對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數(shù)c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當x2∉[a，b]時，f（x2）＜c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù)．給出下列說法：
①“平頂型”函數(shù)在定義域內有最大值；
②函數(shù)f（x）=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)；
④當t≤時，函數(shù)，是區(qū)間[0，+∞）上的“平頂型”函數(shù)．
其中正確的是    ．（填上你認為正確結論的序號）
【答案】分析：根據(jù)題意，“平頂型”函數(shù)在定義域內某個子集區(qū)間內函數(shù)值為常數(shù)c，且這個常數(shù)是函數(shù)的最大值，但是定義并沒有指出函數(shù)最小值的情況．由此定義再結合絕對值的性質和正弦函數(shù)的圖象與性質，對于四個選項逐個加以判斷，即得正確答案．
解答：解：對于①，根據(jù)題意，“平頂型”函數(shù)在定義域內某個子集區(qū)間內函數(shù)值為常數(shù)c，且這個常數(shù)是函數(shù)的最大值，故①正確．
對于②，函數(shù)f（x）=x-|x-2|=，當且僅當x∈[2，+∞）時，函數(shù)的最大值為2，符合“平頂型”函數(shù)的定義，故②正確．
對于③，函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|=，但是不存在區(qū)間[a，b]，對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，
所以f（x）不是“平頂型”函數(shù)，故③不正確．
對于④當t≤時，函數(shù)，，當且僅當x∈（-∞，1]時，函數(shù)的最大值為2，符合“平頂型”函數(shù)的定義，故④正確．
故答案為 ①②④．
點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數(shù)的最值及其幾何意義、帶絕對值的函數(shù)和正弦函數(shù)的定義域值域等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D和常數(shù)c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當x2∉[a，b]時，f（x2）＞c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；
（Ⅱ）設f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=mx+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)，求m和n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•成都二模）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若滿足對?x1，x2∈D，且x1＜x2時都有 f（x1）≥f（x2），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“非增函數(shù)”．若f（x）為區(qū)間[0，1]上的“非增函數(shù)”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又當x∈[0，
1
4
]時，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命題：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②當x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，時，f（x1）≠f（x）
③?x∈[
1
4
，
3
4
]時，都有f(x)=
1
2

④函數(shù)f（x）的圖象關于點(
1
2
，
1
2
)對稱
其中你認為正確的所有命題的序號為
①③④
①③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•鹽城一模）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若任給x0∈D，均有f（x0）∈D，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上封閉．
（1）試判斷f（x）=x-1在區(qū)間[-2.1]上是否封閉，并說明理由；
（1）若函數(shù)g（x）=
3x+ax+1
在區(qū)間[3，10]上封閉，求實數(shù)a的取值范圍；
（1）若函數(shù)h（x）=x3-3x在區(qū)間[a，b[（a，b∈Z）上封閉，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•綿陽三模）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數(shù)c，．使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當x2∉[a，b]時，f（x2）＜c恒成立，則稱函數(shù)f（X）為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù)．給出下列說法：
①“平頂型”函數(shù)在定義域內有最大值；
②“平頂型”函數(shù)在定義域內一定沒有最小值；
③函數(shù)f（x）=-|x+2|-|x-1|為R上的“平頂型”函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)．
則以上說法中正確的是
①③
①③
．（填上你認為正確結論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•綿陽三模）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數(shù)c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當x2∉[a，b]時，f（x2）＜c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù)．給出下列說法：
①“平頂型”函數(shù)在定義域內有最大值；
②函數(shù)f（x）=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)；
④當t≤
3
4
時，函數(shù)，f(x)=
2，(x≤1)
log
1
2
(x-t)，(x＞1)
是區(qū)間[0，+∞）上的“平頂型”函數(shù)．
其中正確的是
①②④
①②④
．（填上你認為正確結論的序號）

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