Question

【題目】已知函數(shù)，.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若是函數(shù)的兩個不同的零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明見解析

【解析】

(1)求出，對參數(shù)分和討論，即可到答案；

(2)根據(jù)零點方程，變形消去參數(shù)，可得，然后整理可得，設，，，則，，問題轉化為要證，即證，，.即證當時，有，構造函數(shù)，，只需證明即可．

(1)函數(shù)的定義域為，，

當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，令，得；令，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

(2)因為是方程的兩個不同實根，不妨設.

于是，有，解得.

另一方面，由，得，

從而可得，

于是，.

又，設，則.因此，，.

要證，即證：，.即證當時，有.

設函數(shù)，，則，

所以，為上的增函數(shù).注意到，，因此，.

于是，當時，有.所以，有成立.