中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10 m跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí),身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)路線為如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的一條拋物線(圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件).在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí),正常情況下,該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10m,入水處距池邊的距離為4 m,同時(shí),運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5 m或5 m以上時(shí),必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作,并調(diào)整好入水姿勢(shì),否則就會(huì)出現(xiàn)失誤.
(1)求這條拋物線的解析式.
(2)在某次試跳中,測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是(1)中的拋物線,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離為3m,問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤?并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
(3)要使此次跳水不至于失誤,該運(yùn)動(dòng)員按(1)中拋物線運(yùn)行,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少?

【答案】分析:(1)根據(jù)題意先設(shè)出拋物線的方程,根據(jù)題意可知O,B的坐標(biāo)和A的縱坐標(biāo),把(0,0)點(diǎn)代入拋物線方程求得c,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求得a,b和c的關(guān)系把(2,-10)代入拋物線方程求得a,b令一關(guān)系式,聯(lián)立求得a和b,則拋物線方程可得.
(2)把x═3-2代入拋物線方程求得y,進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)員距水面的高度,與5進(jìn)行比較判斷出答案.
(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在x軸上方,即y>0的區(qū)域內(nèi)完成動(dòng)作并做好入水姿勢(shì)時(shí),運(yùn)動(dòng)員很難做到.故可看當(dāng)y<0時(shí),要使跳水不出現(xiàn)失誤y的范圍,進(jìn)而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得x的范圍.
解答:解:(1)在給定的直角坐標(biāo)系下,設(shè)最高點(diǎn)為A,入水點(diǎn)為B,拋物線的解析式為
y=ax2+bx+c.
由題意知,O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(0,0)、(2,-10),且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為,c=0,
所以有=
4a+2b+c=-10.a(chǎn)=-,
解之得b=,c=0
或a=-,b=-2,c=0.
∵拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè),∴->0.
又∵拋物線開(kāi)口向下,∴a<0.
∴b>0,后一組解舍去.
∴a=-,b=,c=0.
∴拋物線的解析式為y=-x2+x.
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為3m時(shí),即x=3-2=時(shí),
y=(-)×(2+×=-
∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為
10-=<5.
因此,此次跳水會(huì)出現(xiàn)失誤.
(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在x軸上方,即y>0的區(qū)域內(nèi)完成動(dòng)作并做好入水姿勢(shì)時(shí),當(dāng)然不會(huì)失誤,但很難做到.
∴當(dāng)y<0時(shí),要使跳水不出現(xiàn)失誤,
則應(yīng)有|y|≤10-5,即-y≤5.
∴有x2-x≤5,
解得2-≤x≤2+
∴運(yùn)動(dòng)員此時(shí)距池邊的距離至多為2+2+=4+m.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì),以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型,把實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題相聯(lián)系.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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m,入水處距池邊的距離為4 m,同時(shí),運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5 m或5 m以上時(shí),必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作,并調(diào)整好入水姿勢(shì),否則就會(huì)出現(xiàn)失誤.
(1)求這條拋物線的解析式.
(2)在某次試跳中,測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是(1)中的拋物線,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離為3
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m,問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤?并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
(3)要使此次跳水不至于失誤,該運(yùn)動(dòng)員按(1)中拋物線運(yùn)行,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少?

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中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10 m跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí),身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)路線為如圖所示的坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的一條拋物線(圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件).在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí),正常情況下,該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10m,入水處距池邊的距離為4 m,同時(shí),運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5 m或5 m以上時(shí),必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作,并調(diào)整好入水姿勢(shì),否則就會(huì)出現(xiàn)失誤.

(1)求這條拋物線的解析式.

(2)在某次試跳中,測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是圖8中的拋物線,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離為3m,試問(wèn)此次跳水運(yùn)動(dòng)員會(huì)不會(huì)出現(xiàn)失誤?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

(3)要使此次跳水不至于失誤,該運(yùn)動(dòng)員按圖中的拋物線運(yùn)行,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少?

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(1)求這條拋物線的解析式.
(2)在某次試跳中,測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是(1)中的拋物線,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離為3m,問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤?并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
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(1)求這條拋物線的解析式.
(2)在某次試跳中,測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是(1)中的拋物線,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離為3m,問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤?并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
(3)要使此次跳水不至于失誤,該運(yùn)動(dòng)員按(1)中拋物線運(yùn)行,且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí),距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少?

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