已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1,0),C1的中心和C2的頂點都在坐標原點,過點M(4,0)的直線l與拋物線C2分別相交于A,B兩點.
(Ⅰ)寫出拋物線C2的標準方程;
(Ⅱ)若
AM
=
1
2
MB
,求直線l的方程;
(Ⅲ)若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C2上,直線l與橢圓C1有公共點,求橢圓C1的長軸長的最小值.
(Ⅰ)∵拋物線C2的焦點F(1,0),
p
2
=1,即p=2
∴拋物線C2的方程為:y2=4x,
(Ⅱ)設直線AB的方程為:y=k(x-4),(k存在且k≠0).
聯(lián)立
y=k(x-4)
y2=4x
,消去x,得ky2-4y-16k=0,
顯然△=16+64k2>0,設A(x1,y1),B(x2,y2),
y1+y2=
4
k
①y1•y2=-16 ②
AM
=
1
2
MB
,所以y1=-
1
2
y2

由①②③消去y1,y2,得k2=2,
故直線l的方程為y=
2
x-4
2
,或y=-
2
x+4
2

(Ⅲ)設P(m,n),則OP中點為(
m
2
,
n
2
)
,因為O、P兩點關于直線y=k(x-4)對稱,
所以
n
2
=k(
m
2
-4)
n
m
•k=-1
,即
km-n=8k
m+nk=0
,解之得
m=
8k2
1+k2
n=-
8k
1+k2
,
將其代入拋物線方程,得:(-
8k
1+k2
)2=4•
8k2
1+k2
,所以,k2=1.
聯(lián)立
y=k(x-4)
x2
a2
+
y2
b2
=1
,消去y,得:(b2+a2k2)x2-8k2a2x+16a2k2-a2b2=0.
由△=(-8k2a22-4(b2+a2k2)(16a2k2-a2b2)≥0,
得16a2k4-(b2+a2k2)(16k2-b2)≥0,
即a2k2+b2≥16k2
將k2=1,b2=a2-1代入上式并化簡,得2a2≥17,所以a≥
34
2
,即2a≥
34
,
因此,橢圓C1長軸長的最小值為
34

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的定點,A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上的兩個動點,且直線PA與PB的傾斜角互補
(1)求
y1+y2
y0
的值
(2)證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=2x與拋物線C:y=
1
4
x2
交于A(xA,yA)、O(0,0)兩點,過點O與直線l垂直的直線交拋物線C于點B(xB,yB).如圖所示.
(1)求拋物線C的焦點坐標;
(2)求經(jīng)過A、B兩點的直線與y軸交點M的坐標;
(3)過拋物線y=
1
4
x2
的頂點任意作兩條互相垂直的直線,過這兩條直線與拋物線的交點A、B的直線AB是否恒過定點,如果是,指出此定點,并證明你的結論;如果不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知A、B是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的左、右頂點,橢圓上異于A、B的兩點C、D和x軸上一點P,滿足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC

(1)設△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4,求證:S1S3=S2S4
(2)設P點的橫坐標為x0,求x0的取值范圍.

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直線與雙曲線x2-4y2=4交于A、B兩點,若線段AB的中點坐標為(8,1),則直線的方程為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F2與拋物線y2=4x的焦點重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點,與拋物線交于C、D兩點,且
|CD|
|ST|
=2
2

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若過點M(2,0)的直線與橢圓E相交于兩點A,B,設P為橢圓E上一點,且滿足
OA
+
OB
=t
OP
(O為坐標原點),當|
PA
-
PB
|<
2
5
3
時,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知m>1,直線l:x-my-
m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0(其中ab≠0,a≠b,c>0),它們所表示的曲線可能是( 。
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
有相同的焦點,直線y=
3
x
為C的一條漸近線.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點P(0,4)的直線l,交雙曲線C于A、B兩點,交x軸于Q點(Q點與C的頂點不重合),當
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
,且λ1+λ2=-
8
3
時,求Q點的坐標.

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