Question

已知θ為向量

a

與

b

的夾角，|

a

|=2，|

b

|=1，關于x的一元二次方程x²-|

a

|x+

a

•

b

=0有實根．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數f(θ)=sinθcosθ+

3

cos2θ-

3

2

的最值．

Answer 1

分析：（I）由方程x²-|a|x+a•b=0有實根，可得△=|

a

|²-4

a

•

b

=4（1-2cosθ）≥0，得cosθ≤

1

2

，結合θ∈[0，π]可求
（II）利用二倍角公式、輔助角公式對已知函數化簡可得f(θ)=sinθcosθ+

3

cos2θ-

3

2

=sin（2θ+

π

3

），結合θ的范圍及正弦函數的性質可求函數的最值

解答：解：（I）由題意可得θ∈[0，π]，由|

a

|=2，|

b

|=1，可得|

a

|²=4，

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ．…（3分）
∵方程x²-|a|x+a•b=0有實根，則有△=|

a

|²-4

a

•

b

=4（1-2cosθ）≥0，得cosθ≤

1

2

，所以θ∈[

π

3

，π]．…（6分）
（II）∵f(θ)=sinθcosθ+

3

cos2θ-

3

2

=

1

2

sin2θ+

3

(

cos2θ+1

2

)-

3

2

=

1

2

sin2θ+

3

2

cos2?=sin(2θ+

π

3

)…（9分）
又因為θ∈[

π

3

，π]，所以2θ+

π

3

∈[π，

7π

3

]，
所以sin（(2θ+

π

3

)∈[-1，

3

2

]
所以，函數的最大值為

3

2

，最小值為-1．…（12分）

點評：本題以向量的數量積的運算為載體主要考查了三角函數性質的應用，屬于基礎試題