Question

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=

3

（1）求證：CD⊥平面ADS；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．
（3）求點(diǎn)A到面SBC的距離．

Answer 1

分析：（1）要證CD⊥平面ADS，只需證明直線CD垂直平面ADS內(nèi)的兩條相交直線AD、SD即可；
（2）過A作AE⊥DB于E  又過A作AF⊥SB于F，連接EF，可得∠AFB為二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）根據(jù)AD∥BC，可得點(diǎn)A到面SBC的距離等于點(diǎn)D到面SBC的距離，從而可得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
又SD⊥AB，AB∥CD，則CD⊥SD
又∵AD∩SD=D
∴CD⊥平面ADS
（2）解：∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB，AB∩AD=A
∴SD⊥面ABCD．
∴平面SDB⊥平面ABCD，BD為面SDB與面ABCD的交線．
過A作AE⊥DB于E，則AE⊥平面SDB，過A作AF⊥SB于F，連接EF，從而得：EF⊥SB
∴∠AFB為二面角A-SB-D的平面角
在矩形ABCD中，對(duì)角線BD=

5

∴在△ABD中，AE=

AB•CD

BD

=

2 5

5

Rt△SDC中，SC=

7

，Rt△SBC，SB=

8

而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB²=SA²+AB²，
∴△SAB為等腰直角三角形且∠SAB為直角，
∴AF=

2

2

AB=2
∴sin∠AFE=

AE

AF

=

10

5

∴所求的二面角的余弦值為

15

5

；
（3）解：∵AD∥BC，∴點(diǎn)A到面SBC的距離等于點(diǎn)D到面SBC的距離
∵SD⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SD⊥BC
∵BC⊥CD，SD∩CD=D，∴BC⊥平面SDC
∴平面SBC⊥平面SDC
過D作DM⊥SC，垂足為M，則DM⊥平面SBC，即DM為點(diǎn)D到面SBC的距離
在△SDC中，SD=

3

，CD=2，∴SC=

7

，
∴DM=

SD×DC

SC

=

2 21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．