Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線的最小距離．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1) 曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C1的普通方程，曲線C2的極坐標(biāo)方程利用，能求出曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離表示點(diǎn)到曲線的最小距離，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到最小值.

（1）消去參數(shù)得到，

故曲線的普通方程為

，由

得到，

即,故曲線的普通方程為

（2）〖解法1〗設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)到曲線的距離

所以，當(dāng)時(shí)，的值最小，

所以點(diǎn)到曲線的最小距離為.

（2）〖解法2〗設(shè)平行直線：的直線方程為

當(dāng)直線與橢圓相切于點(diǎn)P時(shí)，P到直線的距離取得最大或最小值。

由得，

令其判別式，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最小，最小值為

所以點(diǎn)到曲線的最小距離為.