Question

已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）用定義證明．

Answer 1

解：（1）f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
證明（2）設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，則
因0＜x₁＜x₂≤2，所有x₁-x₂＜0，，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減．
設(shè)2＜x₁＜x₂，則
因2＜x₁＜x₂，所有x₁-x₂＜0，，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
分析：（1）根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們易判斷出函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，根據(jù)x₁-x₂＜0，，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，進(jìn)而根據(jù)減函數(shù)的定義得到函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減；
設(shè)2＜x₁＜x₂，根據(jù)x₁-x₂＜0，，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，進(jìn)而根據(jù)增函數(shù)的定義得到函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中熟練掌握定義法（作差法）證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵．