【題目】已知橢圓的焦距為2，過右焦點(diǎn)和短軸一個端點(diǎn)的直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由題意，根據(jù)過右焦點(diǎn)和短軸一個端點(diǎn)的直線的斜率為，求出，求出，即得橢圓的方程；

（2）設(shè).把直線的方程代入橢圓的方程，韋達(dá)定理.寫出直線和直線的方程，求出.根據(jù)，求出的值，即可證明直線l經(jīng)過定點(diǎn).

（1）由題意，得橢圓的半焦距，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，所以直線的斜率，解得，由，得，所以橢圓的方程為.

（2）設(shè).

聯(lián)立得，

，，.

直線，令得，即；

同理可得.

因?yàn)?/span>，所以；

，解之得只有滿足題意，所以直線方程為，所以直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在四棱錐中，平面平面.底面為梯形，，，且，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若是棱的中點(diǎn)，求證：對于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行.

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【題目】為準(zhǔn)確把握市場規(guī)律，某公司對其所屬商品售價進(jìn)行市場調(diào)查和模型分析，發(fā)現(xiàn)該商品一年內(nèi)每件的售價按月近似呈的模型波動（為月份），已知3月份每件售價達(dá)到最高90元，直到7月份每件售價變?yōu)樽畹?/span>50元.則根據(jù)模型可知在10月份每件售價約為_____.（結(jié)果保留整數(shù)）

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【題目】如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

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【題目】已知拋物線，過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

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【題目】某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.

方案一：每滿100元減20元；

方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機(jī)取出3個球（逐個有放回地抽�。�，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）

紅球個數(shù)

3

2

1

0

實(shí)際付款

7折

8折

9折

原價

（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？

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【題目】為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：

，且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補(bǔ)貼萬元．

（1）當(dāng)時，判斷該項(xiàng)舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；

如果不能獲利，請求出國家最少補(bǔ)貼多少萬元，該工廠才不會虧損？

（2）當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；

（2）由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長的最小值．

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【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護(hù)知識，某校開展了“疫情防護(hù)”網(wǎng)絡(luò)知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男生

40

女生

50

合計(jì)

100

參考公式及數(shù)據(jù)：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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