Question

（2013•大興區(qū)一模）已知函數f（x）=（ax+1）e^x．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數f（x）在區(qū)間[2，0]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）求導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，分a=0，a＞0，a＜0三種情況進行討論即可解得，由導數與函數單調性關系即得單調區(qū)間；
（Ⅱ）根據（I）中a＞0時函數的單調性進行討論：按極值點x=-

a+1

a

在區(qū)間[-2，0]左側、區(qū)間內兩種情況討論，由單調性即可得到最小值；

解答：解：定義域為R，f′（x）=（ax+1）′e^x+（ax+1）（e^x）′=e^x（ax+a+1），
（Ⅰ）①當a=0時，f′（x）=e^x＞0，則f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②當a＞0時，解f′（x）＞0得，x＞-

a+1

a

，解f′（x）＜0得，x＜-

a+1

a

，
則f（x）的單調增區(qū)間為(-

a+1

a

，+∞)，f（x）的單調減區(qū)間為(-∞，-

a+1

a

)；
③當a＜0時，解f′（x）＞0得，x＜-

a+1

a

，解f′（x）＜0得，x＞-

a+1

a

，
則f（x）的單調增區(qū)間為(-∞，-

a+1

a

)，f（x）的單調減區(qū)間為(-

a+1

a

，+∞)；
（Ⅱ）①當

a＞0 - a+1 a ＞-2

時，即當a＞1時，f（x）在(-2，-

a+1

a

)上是減函數，在(-

a+1

a

，0)上是增函數，
則函數f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為 f(-

a+1

a

)=-ae-

a+1

a

；
②當

a＞0 - a+1 a ≤-2

時，即當0＜a≤1時，f（x）在[-2，0]上是增函數，
則函數f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為f(-2)=

1-2a

e2

，
綜上：當a＞1時，f（x）在區(qū)間[-2，0]上最小值為-ae-

a+1

a

，當0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間[-2，0]上最小值為

1-2a

e2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．